Geographische Mitte -> Stimmt die Überlegung?

derwifler · 24 Juli 2010

Hallo zusammen,

bei folgender Fragestellung komme ich nicht recht weiter und würde mich über etwas Hilfe freuen.

Ich habe mehrere Koordinaten (Grad/Dezimalminuten) und möchte aus diesen Koordinaten den Mittelpunkt (quasi Schwerpunkt) ermitteln. Wie mache ich das?

Meine Idee war:
Ich summiere alle Nordkoordinaten auf und teile sie durch die Anzahl aller Koordinaten. Selbiges mache ich mit den Ostkoordinaten.

Beispiel:
48.10.100 11.40.100
48.10.200 11.41.000
48.10.700 11.20.200

Summe
14431000 3401300
Geteilt durch 3 (sind ja drei Werte)

48.10.333 11.33.767

Die spannende Frage: Darf man das so rechnen? Ist der o.g. Punkt tatsächlich der Mittelpunkt?

Vielen Dank für ein paar Tipps und viele Grüße

Ferdi

Teddy-Teufel · 24 Juli 2010

Moin, ja geht so, ich hatte auch mal einen Link dazu, finde ihn aber vielleicht heute abend wieder. Wenn die Gradzahl vorn immer die gleiche ist braucht man sie bei der Berechnung nicht einbeziehen. Hier ein Cache wo man sinngemäß auch so rechnen soll.

Thaliomee · 24 Juli 2010

Hallo,
das wirkt jetzt vielleicht etwas spitzfindig, aber was du da ausrechnest, ist der Schwerpunkt. Es geht (und es würde auch gehen, wenn die Minuten nicht gleich wären, dann hättest du halt 5stellige Zahlen) aber ich würde es nicht "Mitte" nennen, weil der Begriff nicht klar ist (dann eher Zentrum). Immerhin könnte auch der Umkreismittelpunkt oder der Innkreismittelpunkt gemeint sein. Aber wahrscheinlich ist den meisten Menschen das klar...

lg
Thali

derwifler · 24 Juli 2010

Vielen Dank schonmal für die Antworten!

Wie würde ich denn den In- und Umkreismittelpunkt errechnen?

Vielen Dank und viele Grüße

Ferdi

p.s.: ich bin ab morgen 1 woche im Urlaub, von daher bitte nicht wundern, wenn ich nciht antworte

Teddy-Teufel · 24 Juli 2010

Thaliomee schrieb:
Hallo,
das wirkt jetzt vielleicht etwas spitzfindig, aber was du da ausrechnest, ist der Schwerpunkt.

Ist doch richtig, hat er doch auch geschrieben, also nix mit spitzfindig. Hier ist das alles schon mal mehr oder weniger "wissenschaftlich"diskuitiert. Der Link wo es jedoch letztendlich auch verständlich für alle Leute ist, ist dieser. Mußt nur etwas nach unten scrollen.

Kalle Anka · 26 Juli 2010

derwifler schrieb:
Beispiel:
48.10.100 11.40.100
48.10.200 11.41.000
48.10.700 11.20.200

Summe
14431000 3401300
Geteilt durch 3 (sind ja drei Werte)

48.10.333 11.33.767

Die spannende Frage: Darf man das so rechnen?

Nein! Das darf man eigentlich nicht so rechnen.
In deinem Beispiel sind die Grad-Angaben alle gleich, daher funktioniert das, sind diese verschieden, kommt aber was falsches raus.
Du tippst wild die Grad und Minuten hintereinander in den Taschenrechner. Das geht so nicht, da ein Grad nicht 100 Minuten sind (Du rechnest ja im Dezimalsystem).
Du musst die Minuten in Grad oder die Grad in Minuten umwandeln, dann hast Du 2 Werte mit gleichen Einheiten und kannst diese addieren. Also am besten alle Koordinaten in Dezimalgrad umwandeln und dann weiter rechnen.

Kalle

schuhhirsch · 26 Juli 2010

derwifler schrieb:
(...)
Ich habe mehrere Koordinaten (Grad/Dezimalminuten) und möchte aus diesen Koordinaten den Mittelpunkt (quasi Schwerpunkt) ermitteln. Wie mache ich das?

Meine Idee war:
Ich summiere alle Nordkoordinaten auf und teile sie durch die Anzahl aller Koordinaten. Selbiges mache ich mit den Ostkoordinaten.
(...)
Ist der o.g. Punkt tatsächlich der Mittelpunkt?
Vielen Dank für ein paar Tipps und viele Grüße
Ferdi

Nein, der Mittelwert der Koordinaten ist i.A. nicht der Schwerpunkt.
Stell dir mal vor:
Ein Rechteck, ein Punkt in jeder Ecke. Nördliche Kante auf N10, südliche auf S10.
Der Schwerpunkt müsste also am Äquator bei N0 liegen.
Die obere Kante besteht aber nicht nur aus den beiden oberen Ecken, sondern zusätzlich aus weiteren 10 Punkten auf N10 dazwischen.

Der Durchschnitt der N-Koordinaten wäre dann (2x(-10) + 12x10)/14=N7°, und nicht der Äquator. Woanders ist's nicht anders (nur nicht so anschaulich).

Den Schwerpunkt errechnet man zB durch passendes Zerlegen in Teilflächen, Ermitteln der Teilflächenschwerpunkte, Summieren der (Schwerpunktabstände von einer Achse) x Teilfläche, und dann Durchdividieren durch die Gesamtfläche. Das Ganze zweimal, je einmal für Ost und Nord.

Das Stichwort "Center of Gravity" führt dich vermutlich zu Formeln, wobei in der Praxis die Krümmung bei kleinen Gebieten vernachlässigt werden kann.

KoenigDickBauch · 26 Juli 2010

Schau dir mal Mopsos an. Das Programm kann alle deine Fragen beantworten.

Schwerpunkte von Caches ist eine spannende Frage, da eine allgemeine Lösung nicht trivial ist. Zwei Caches einer auf dem Südpol und einer auf dem Nordpol , so ist der Schwerpunkt in der Erdmitte, möchte man aber die Mitte auf der Erdoberfläche haben, so wäre jeder Punkt auf dem Äquator eine Lösung.

Mit Mopsos bin ich daher den Weg gegangen, das ich die WGS84 Koordinaten in ein Kartesisches XYZ System übertrage und dort den Schwerpunkt berechne. Diesen Schwerpunkt, der innerhalb der Erde liegt, bilde ich dann auf die Erdoberfläche ab.

Wallraff · 26 Juli 2010

Hallo,

eine leichte Kopfnuss an denwifler, man sollte wenigstens die einfachsten Regeln beim Rechnen mit Winkeleinheiten ...

Dann zu Lösungsversuchen.
Nirgends im Netz findet man simple Formeln für den Schwerpunkt des Kugeldreiecks.
Der genannte Forums-Link ist m.E. wirklich gut.

1. Versuch:
Ich hab' wie KDB kartesische Koordinaten und den Schwerpunkt masselose Dreieckspunkte genommen,

Ergebnis = 48° 10.340' 11° 33.767'

Nicht mit Mopsos, entschuldige, bittebitte (Kopfnuss für mich).

2. Versuch:
Mit Gauß-Krüger gerechnet - gleiches Ergebnis.

3. Versuch:
mit kartesischen Koordinaten der Kugel - gleiches Ergebnis.

Gelöst ?! Nee, so einfach ist es glaube nicht.
Das Dreieck ist so extrem schmal und ost-westlich ausgerichtet, dass es deshalb auf Krümmungunterschiede und Abbildungsverzerrungen reagieren und uns foppen könnte.

Nach all den Jahren ... kann man immer noch nicht mit Koordinaten so recht umgehen.

Seufz
Wallraff

KoenigDickBauch · 26 Juli 2010

Dann möchte ich das Mopsos Script nachreichen:

Code:

program MittelPunkt;

VAR
   Lat1, Lon1: real;
   Lat2, Lon2: real;
   Lat3, Lon3: real;
   LatM, LonM, H: real;

begin
   Lat1 := '48°10.100';
   Lon1 := '11°40.100';
   Lat2 := '48°10.200';
   Lon2 := '11°41.000';
   Lat3 := '48°10.700';
   Lon3 := '11°20.200';

   writeln(Distance(lat1, lon1, lat2, lon2): 10: 2, 'm');
   writeln(Distance(lat2, lon2, lat3, lon3): 10: 2, 'm');
   writeln(Distance(lat3, lon3, lat1, lon1): 10: 2, 'm');

   WptsClear;
   WptsAdd(Lat1, Lon1);
   WptsAdd(Lat2, Lon2);
   WptsAdd(Lat3, Lon3);
   WptsCenter(LatM, LonM, H);
   writeln;
   writeln(WGS84(LatM, LonM), ' ', H: 10: 2, 'm');

end.

als Ergebnis kommt heraus:

Code:

   1131.00m
  25799.55m
  24692.75m

N 48° 10.3400 E 11° 33.7675     -11.10m

Irgendwie habe ich noch im Hinterkopf, das man Größen von Flächen bis Ausmaßen 50km einfach in Gauß-Krüger flach geklopft berechnen kann. Mopsos errechnet den schwerpunkt ~11m unter dem Ellipsoid. Wahrscheinlich ist das ein Maß an dem man ablesen kann wie groß der Fehler sein wird.

schuhhirsch · 26 Juli 2010

KoenigDickBauch schrieb:
(...)
Irgendwie habe ich noch im Hinterkopf, das man Größen von Flächen bis Ausmaßen 50km einfach in Gauß-Krüger flach geklopft berechnen kann. Mopsos errechnet den schwerpunkt ~11m unter dem Ellipsoid. Wahrscheinlich ist das ein Maß an dem man ablesen kann wie groß der Fehler sein wird.

Interessant wäre zu wissen, wie weit der wieder auf die Kugel zurückgerechnete Punkt in Länge- und Breite falsch liegt. Ich vermute, dass die Fläche deutlich größer als 50km2 (oder ist 50x50km gemeint?) sein kann, bis dieser Fehler größer als dir typische GPS-Genauigkeit wird. Ich schätze mal jenseits von Bundeslandgrößen.

KoenigDickBauch · 26 Juli 2010

Und dann wollt ich noch die Punkte zum Dreieck nachliefern:

Code:

program MittelPunkt;

VAR
   Lat1, Lon1: real;
   Lat2, Lon2: real;
   Lat3, Lon3: real;
   LatM, LonM, H: real;
   LatS, LonS: real;
   LatH, LonH: real;
   latL, lonL: real;
   latN, lonN: real;
   latF, lonF: real;
   latG, lonG: real;
begin
   Lat1 := '48°10.100';
   Lon1 := '11°40.100';
   Lat2 := '48°10.200';
   Lon2 := '11°41.000';
   Lat3 := '48°10.700';
   Lon3 := '11°20.200';

   writeln(Distance(lat1, lon1, lat2, lon2): 10: 2, 'm');
   writeln(Distance(lat2, lon2, lat3, lon3): 10: 2, 'm');
   writeln(Distance(lat3, lon3, lat1, lon1): 10: 2, 'm');

   WptsClear;
   WptsAdd(Lat1, Lon1);
   WptsAdd(Lat2, Lon2);
   WptsAdd(Lat3, Lon3);
   WptsCenter(LatM, LonM, H);
   writeln;
   writeln(WGS84(LatM, LonM), ' ', H: 10: 2, 'm');
   WptsAdd(LatM, LonM, 'SCHWER');

   Schwerpunkt(lat1, lon1, lat2, lon2, lat3, lon3, LatS, lonS);
   writeln(WGS84(LatS, LonS), ' Schwerpunkt über GK');
   WptsAdd(LatS, LonS, 'SCHWER-GK');

   writeln(Distance(latM, lonM, latS, lonS): 10: 2, 'm');
   writeln;

   HoehenSchnittPunktt(lat1, lon1, lat2, lon2, lat3, lon3, LatH, LonH);
   writeln(WGS84(LatH, LonH), ' Höhenschnittpunkt über GK');
   WptsAdd(LatH, LonH, 'Höhen');

   LemoinePunkt(lat1, lon1, lat2, lon2, lat3, lon3, latL, lonL);
   writeln(WGS84(LatL, LonL), ' Lemoinepunkt über GK');
   WptsAdd(LatL, LonL, 'Lemoine');

   NapoleonPunkt(lat1, lon1, lat2, lon2, lat3, lon3, latN, lonN);
   writeln(WGS84(LatN, LonN), ' Napoleonpunkt über GK');
   WptsAdd(LatN, LonN, 'Napolenon');

   FeuerbachPunkt(lat1, lon1, lat2, lon2, lat3, lon3, latF, lonF);
   writeln(WGS84(LatF, LonF), ' Feuerbachpunkt über GK');
   WptsAdd(LatF, LonF, 'Feuerbach');

   SpiekerPunkt(lat1, lon1, lat2, lon2, lat3, lon3, latS, lonS);
   writeln(WGS84(LatS, LonS), ' Spiekerpunkt über GK');
   WptsAdd(LatS, LonS, 'Spieker');

   GergonnePunkt(lat1, lon1, lat2, lon2, lat3, lon3, latG, lonG);
   writeln(WGS84(LatG, LonG), ' Gergonnepunkt über GK');
   WptsAdd(LatG, LonG, 'Geronne');

   WptsSaveGGpx('Mitte');

end.

wobei man bei der Form und Größe des Dreiecks die außen liegenden Punkte bezweifeln muss:

Code:

   1131.00m
  25799.55m
  24692.75m

N 48° 10.3400 E 11° 33.7675     -11.10m
N 48° 10.3402 E 11° 33.7674 Schwerpunkt über GK
      0.30m

N 47° 5.4276 E 11° 36.4978 Höhenschnitpunkt über GK
N 48° 18.1915 E 11° 38.4972 Lemoinepunkt über GK
N 31° 25.7691 E 11° 44.6120 Napoleonpunkt über GK
N 0° 0.2259 W 4° 29.2244 Feuerbachpunkt über GK
N 48° 10.4272 E 11° 30.6036 Spiekerpunkt über GK
N 29° 36.2769 E 11° 39.8495 Gergonnepunkt über GK

Interessant finde ich aber, das der über Kartesischen Schwerpunkt und über GausKrüger berechnete Schwerpunkt 0.30m auseinander liegt.

KoenigDickBauch · 26 Juli 2010

schuhhirsch schrieb:
Interessant wäre zu wissen, wie weit der wieder auf die Kugel zurückgerechnete Punkt in Länge- und Breite falsch liegt. Ich vermute, dass die Fläche deutlich größer als 50km2 (oder ist 50x50km gemeint?) sein kann, bis dieser Fehler größer als dir typische GPS-Genauigkeit wird. Ich schätze mal jenseits von Bundeslandgrößen.

Die Frage kam als ich die Antwort schon abschicken wollte. 30cm kann ein Garmin mit seinen drei Nachkommastellen nicht immer anzeigen. Dafür benötigt man die 4 Stelle die beim OziExplorer Usus ist.

Wer aber ein Cache wegen 30cm nicht findet, der sollte noch was üben.

Nimmt man ein gleichschenkliges Dreieck

Code:

MakeProjection(Lat1, Lon1, 300000,0, Lat2, Lon2);
 MakeProjection(Lat1, Lon1, 300000,90, Lat3, Lon3);

so kann man leicht ermitteln

Code:

 Seitenlänge -> Fehler
 50000m -> 0.33m
100000m -> 0.62m
150000m -> 2.73m
200000m -> 7.37m
300000m -> 27.75m

und deine Vermutung richtig.

Doch welcher Schwerpunkt ist der richtige? Das kommt wohl darauf an welches Model als richtig bezeichnet wird.

schuhhirsch · 27 Juli 2010

KoenigDickBauch schrieb:
(...)Doch welcher Schwerpunkt ist der richtige? Das kommt wohl darauf an welches Model als richtig bezeichnet wird.

Sollte ich so eine Aufgabe stellen, würd ich den Flächenschwerpunkt nehmen, das Ganze als Ebene mit UTM-Koordinaten betrachten. Ich könnte mir aber auch fiese Berücksichtigung von durchschnittlich dichtem Gestein zwischen Normalnull und einem DEM vorstellen. Aber so fies ist ja niemand...

Ausserdem werd ich mir Mopsos mal näher anschauen :gott:

KoenigDickBauch · 27 Juli 2010

schuhhirsch schrieb:
Sollte ich so eine Aufgabe stellen, würd ich den Flächenschwerpunkt nehmen, das Ganze als Ebene mit UTM-Koordinaten betrachten.

Das hat ja auch was mit normaler Kartenarbeit zu tun.

Wenn einer nicht rechnen kann, dann schneidet er sich das Dreieck aus der Karte aus :shocked:

, hängt es nacheinander an den Ecken auf und malt jeweils die Senkrechte.

schuhhirsch schrieb:
Ich könnte mir aber auch fiese Berücksichtigung von durchschnittlich dichtem Gestein zwischen Normalnull und einem DEM vorstellen. Aber so fies ist ja niemand...

Für Deutschland kann man sich die Daten des Schwerefeldes herunterladen...

Wallraff · 27 Juli 2010

Hallo,

halt, jetzt wollen wir nicht rumblödeln ...

@ KDB : Exeter-, Schiffler- und Brocard-Punkte fehlen doch noch ! Die sind wichtig ...

Zur Koordinaten-Verzerrung eines lokalen Gebietes.
Ich habe mal ein Quadrat nach Soldner-Art bei 50°N und 10° E angesetzt.
Darin eine Abszisse a 50 km und im Anfangs- und Endpunkt je eine Ordinate a 50 km nach Osten.
(Wieder ohne Mopsos - ok, eine Kopfnuss und drei Stockhiebe)

Wenn's stimmt, wäre die Parallele zur Abszisse 1,55 m zu kurz.
Hm, das ist schon messbar.
Morgen rechne ich das nochmal mit 10 km. Dass ich sowas nochmal mache ?
(Ja, wieder ohne Mopsos...)

Grüße Wallraff

Wallraff · 28 Juli 2010

Hallo,

also bei 10 km komme ich in den Bereich 5 cm Differenz - aber auch in den Bereich "Rundungsfehler"...
Bei 100 km hätte ich schon 12 Meter.
Dachte, KDB würde das mal checken - mit Mopsos.

Grüße Wallraff

KoenigDickBauch · 28 Juli 2010

Wallraff schrieb:
also bei 10 km komme ich in den Bereich 5 cm Differenz - aber auch in den Bereich "Rundungsfehler"...
Bei 100 km hätte ich schon 12 Meter.
Dachte, KDB würde das mal checken - mit Mopsos.

Welche Differenz?

Wallraff · 28 Juli 2010

Erde als eben angenommen.
Rechtwinklige Koordinatenachsen 10 km hoch, 10 km rechts.
Sind ebene Koordinaten des Punktes "rechts oben".
Sphäroidische Koordinaten dieses Punktes berechnet.
In Meter gewandelt.
Differenz = Dieser Hochwert - Hochwert am 'Hauptmeridian'.
M.E. ein Kriterium, ob Verebnung zulässig.

Der 100 km-Wert würde mich interessieren.
(Hab bei kleiner Differenz vrmtl. zu wenig Nachkommastellen)

Wallraff

KoenigDickBauch · 28 Juli 2010

Mir fällt es ein wenig schwer dieser Anleitung zu folgen.

Geographische Mitte -> Stimmt die Überlegung?

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